Found problems: 6
2022 Utah Mathematical Olympiad, 3
Find all sequences $a_1, a_2, a_3, \dots$ of real numbers such that for all positive integers $m,n\ge 1$, we have
\begin{align*}
a_{m+n} &= a_m+a_n - mn \text{ and} \\
a_{mn} &= m^2a_n + n^2a_m + 2a_ma_n. \\
\end{align*}
2022 Utah Mathematical Olympiad, 6
An $m \times n$ grid of squares (with $m$ rows and $n$ columns) has some of its squares colored blue. The grid is called [i]fish-friendly[/i] if a fish can swim from the left edge of the grid to the right edge of the grid only moving through blue squares. In other words, there is a sequence of blue squares, each horizontally or vertically adjacent to the previous square, starting in the first column and ending in the last column.
Prove that the number of fish-friendly $42 \times 49$ grids is at least $2^{2022}$.
2022 Utah Mathematical Olympiad, 5
$2022$ lily pads are arranged in a circle. Each lily pad starts with height $1$. A frog starts on one of the lily pads, and jumps around clockwise as follows: if the frog is on a lily bad of height $k$, the lily pad grows by $1$ (becoming $k+1$), and then the frog jumps $k$ lily pads clockwise (i.e. jumping over $(k-1)$). The frog continues doing this as long as it pleases.
After $n$ jumps, let $D(n)$ be the difference between the tallest lily pad and the shortest lily pad. Find, with proof, the maximum possible value of $D(n)$, or prove that $D(n)$ is unbounded.
2022 Utah Mathematical Olympiad, 4
Alpha and Beta are playing a game on a $10\times 100$ grid of squares. At each turn, they can fold the grid along any of the interior horizontal or vertical gridlines, which creates a smaller (folded) grid of squares (on the first move, they can choose one of $9$ horizontal or $99$ vertical gridlines). The person who makes the last fold wins. If both players play optimally and Alpha starts, determine with proof who wins.
2022 Utah Mathematical Olympiad, 2
Let $x$ and $y$ be relatively prime integers. Show that $x^2+xy+y^2$ and $x^2+3xy+y^2$ are relatively prime.
2022 Utah Mathematical Olympiad, 1
Let $n\ge 2$ be an integer. Thibaud the Tiger lays $n$ $2\times 2$ overlapping squares out on a table, such that the centers of the squares are equally spaced along the line $y=x$ from $(0,0)$ to $(1,1)$ (including the two endpoints). For example, for $n=4$ the resulting figure is shown below, and it covers a total area of $\frac{23}{3}$.
[asy]
fill((0,0)--(2,0)--(2,.333333333333)--(0.333333333333,0.333333333333)--(0.333333333333,2)--(0,2)--cycle, lightgrey);
fill((0.333333333333,0.333333333333)--(2.333333333333,0.333333333333)--(2.333333333333,.6666666666666)--(0.666666666666,0.666666666666666)--(0.66666666666,2.33333333333)--(.333333333333,2.3333333333333)--cycle, lightgrey);
fill((0.6666666666666,.6666666666666)--(2.6666666666666,.6666666666)--(2.6666666666666,.6666666666666)--(2.6666666666666,1)--(1,1)--(1,2.6666666666666)--(0.6666666666666,2.6666666666666)--cycle, lightgrey);
fill((1,1)--(3,1)--(3,3)--(1,3)--cycle, lightgrey);
draw((0.33333333333333,2)--(2,2)--(2,0.333333333333), dashed+grey+linewidth(0.4));
draw((0.66666666666666,2.3333333333333)--(2.3333333333333,2.3333333333333)--(2.3333333333333,0.66666666666), dashed+grey+linewidth(0.4));
draw((1,2.666666666666)--(2.666666666666,2.666666666666)--(2.666666666666,1), dashed+grey+linewidth(0.4));
draw((0,0)--(2,0)--(2,.333333333333)--(0.333333333333,0.333333333333)--(0.333333333333,2)--(0,2)--(0,0),linewidth(0.4));
draw((0.333333333333,0.333333333333)--(2.333333333333,0.333333333333)--(2.333333333333,.6666666666666)--(0.666666666666,0.666666666666666)--(0.66666666666,2.33333333333)--(.333333333333,2.3333333333333)--(0.333333333333,.333333333333),linewidth(0.4));
draw((0.6666666666666,.6666666666666)--(2.6666666666666,.6666666666)--(2.6666666666666,.6666666666666)--(2.6666666666666,1)--(1,1)--(1,2.6666666666666)--(0.6666666666666,2.6666666666666)--(0.6666666666666,0.6666666666666),linewidth(0.4));
draw((1,1)--(3,1)--(3,3)--(1,3)--cycle,linewidth(0.4));
[/asy]
Find, with proof, the minimum $n$ such that the figure covers an area of at least $\sqrt{63}$.